Eine etwas andere Entscheidungstheorie im Poker

 

Entscheidungstheorie und Poker
 
 
Es ist Dienstagabend und ich sitze in einem Wiener Kartencasino und spiele ein Deepstackturnier mit 400BB Startingstack und 20 Minuten Blindlevels….
Da man meiner Meinung nach in einem solchen Turnier in den ersten 2 bis 3 Levels nur Fehler machen kann, spiele ich relativ tight und versuche das Verhalten meiner „enemies“ (Dragan Galic in einem Interview bei der EPT in San Remo) und deren Spielweise zu beobachten und konzentriere mich ganz besonders auf ihr Setzverhalten da dieses oftmals Auskunft über die Spielstärke und das Spielverständnis eines Spieler gibt.
Ungefähr nach meiner 20ten (nicht nennenswerten) Hand und nach zahlreichen Eindrücken am Pokertisch schweife ich ein bisschen ab und denke (aus welchen Gründen auch immer) über entscheidungstheoretische Probleme und deren Bezug auf Poker nach.
In meinen Überlegungen begegnet mir das Sankt-Petersburg Paradoxon, welches erstmals von Nikolaus Bernoulli erwähnt wurde, aber erst Bekanntheit durch Daniel Bernouilli erlangte.
 
Stellen wir uns dabei folgendes vor:
 
Ein russischer Zar würde gerne ein Spiel für sein Volk anbieten und hat sich dabei folgendes gedacht. Es wird eine „faire“ Münze so oft geworfen bis zum ersten Mal die „Kopf“ Seite nach oben zeigt. Wenn nun beim ersten Wurf eines Spielers „Kopf“ erscheint, dann bekommt er nichts und beendet sein Spiel; sollte aber „Zahl“ geworfen werden bekommt der Spieler  1 Rubel und darf weiterspielen. Für jede weitere geworfene Zahl Seite verdoppelt sich der Gewinn des Spielers (also: 1,2,4,8,16,32, usw…), aber wenn er das erste Mal „Kopf“ wirft nimmt er zwar seinen bisherigen Gewinn mit nach Hause, muss aber sein Spiel beenden.
z.B.: entspricht 3mal Zahl einem Gewinn von 4 Rubel oder 8mal Zahl entspricht einem Gewinn von   
     (in unserem Fall k=8) also 128 Rubel.
 
Da der Zar natürlich sein Geld nicht verschenken kann, aber ein ehrlicher Staatsmann ist, würde er dieses Spiel gerne zu einem fairen Preis anbieten, was bedeutet, dass alle Bürger einen Betrag entrichten müssen um die Möglichkeit zu haben an diesem Spiel teilzunehmen.
Dabei stellt sich die Frage: Welcher Betrag ist denn fair?
Ein fairer Betrag so würde der Cashgame - Spieler antworten nachdem er die Pot Odds berechnet hat, ist der Betrag bei dem das Risiko dem erwarteten Gewinn gleicht.
Nun da um 1700 das Poker spielen in Russland noch nicht so populär war wie heute, konnte der Zar vorerst keinen fairen Betrag bestimmen und lud sich die besten Mathematiker des Landes ein. Diese kamen zu dem Schluss, dass der Preis „unendlich“ sein müsste. Warum?
Nun ja! Zuerst würde ich dies gerne anhand einer kleinen Grafik veranschaulichen, welche man in der Spieltheorie als Spielbaum (engl. gametree) bezeichnet.
 Anhand dieses gametrees kann man sehen, dass der erwartete Gewinn bei nur einem Wurf    ½ Rubel ist, da die Wahrscheinlichkeit für Kopf 0,5 = 50% und für Zahl auch 0,5 ist und die Auszahlung bei Zahl 1 wäre.
Nun, da dieses Spiel aber (theoretisch zumindest) unendlich ist (so lange der Spieler Zahl wirft) muss man den erwarteten Gewinn auf eine sehrsehrsehr lange Zeitspanne berechnen.
 
Also wie wir bereits wissen ist der faire Preis für dieses Spiel gleich dem erwarteten Gewinn.
Dieser lässt sich so berechnen:
oder in Kurzform:  
wobei p gleich der Wahrscheinlichkeit für „Zahl“ also 0,5 ist und k gleich der Anzahl der „Zahlwürfe“ ist.
Nun wie den hellsten Köpfchen unter euch wahrscheinlich schon aufgefallen ist, ist der erwartete Gewinn für jeden Wurf der gleiche nämlich ½ weil:
 
Der erwartete Gewinn bei dem Spiel des Zaren ist also unendlich.
 
 
Für den Zaren ist es also unmöglich dieses Spiel anzubieten da den Preis einfach niemand bezahlen könnte bzw. dieser Betrag gar nicht existiert. 
Eine Lösung für dieses Problem präsentierte erstmals Daniel Bernoulli ein schweizerischer Mathematiker. Er versuchte dieses Problem mit einem Nutzenkonzept zu lösen.
 
Diese Theorie stammt daher, dass das 1te Geldstück welches man einem Bettler gibt mehr bringt als das 2te Geldstück welches man demselben Bettler gibt bzw. dass der ersten Tropfen Wasser in der Wüste mehr Nutzen stiftet als der 2te Tropfen. Dies Konzept nennt sich abnehmender Grenznutzen und lässt sich für Turnierspieler wie folgt übersetzen:
Bei einem „average“ von 10000 Chips und einem Stack von 5000 bringen weitere 10000 Chips mehr Nutzen als 10000 zusätzliche Chips bei einem Stack 200000.
Bei Bernoullis Überlegungen stellte sich heraus, dass das Sankt Petersburg Paradoxon mit dem Prinzip von Nutzenfunktionen zu einem (bis auf wenige Ausnahmen) lösbaren Problem wird.
 
Nun was können Pokerspieler mit diesem Konzept anfangen…..
Für einen Cashgamespieler ist dieses Prinzip der erwarteten Auszahlung durchaus zufrieden stellend und anwendbar aber für einen Turnierspieler könnte es aufgrund des Leiterprinzips oftmals zu Problemen bzw. irrationalen Entscheidungen führen, da man sich durch ein mögliches „nichts tun (FOLD)“ besser stellen könnte also mehr Geld bekommen könnte.
Nehmen wir nun an ein Turnierspieler befindet sich bereits im Geld und könnte eine 50/50 Situation eingehen. Rein mathematisch wäre dies natürlich korrekt, da sein erwarteter Gewinn gleich oder vielleicht sogar höher ist als sein momentaner Chipstack. („höher“ aufgrund von Blinds oder Antes) Irgendetwas hindert ihn aber daran dieses Risiko einzugehen. Er hat noch einen relativ komfortablen Stack und ist nur mehr 2 Plätze von den nächsten (höheren) Geldrängen entfernt, was bedeutet dass er sich durch das Passen seiner Karten besser stellen kann, obwohl vielleicht rein mathematisch gesehen (Prinzip der EV) ein Call bzw. eigenes All-In besser gewesen wäre. Dieses Verhalten nennt man „Risikoaversion“.
Es bedeutet einfach erklärt, dass der Nutzen diesen Coinflip nicht einzugehen höher ist als der Nutzen dies doch zu tun. Dies ist die allgemeine Nutzentheorie. Dafür verwendet man konkave Nutzenfunktionen wie zB.: ln(x) oder etwa Wurzel von x, wobei gilt:
 
      = Coinflipsituation =) eingehen oder nicht eingehen….
 
Also der sichere Betrag von 1 als der mit Risiko (50%) behaftete Betrag von 2, obwohl beide erwartete Auszahlungen gleich hoch sind.
Mit Nutzenfunktionen kann man also erklären warum Turnierspieler (teilweise auch Cashgame-Spieler) nicht immer nach dem Prinzip der erwarteten Auszahlung entscheiden. Der Grund dafür ist, dass es in einem Turnier irrational sein kann nach diesem Prinzip zu handeln. Zum Beispiel würde der Spieler bei gegebener Nutzenfunktion von Wurzel(x) eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 0,7071 brauchen um diese Situation eingehen zu wollen.
Nur wenn die die Gewinnwahrscheinlichkeit gleich oder höher als dieser Wert ist, dann kann man in der Nutzentheorie eine Entscheidung als rational definieren.
 
Nutzenfunktionen können natürlich beliebig kreiert werden, und je nach eigenen Präferenzen (Vorlieben) und dem Spielstil wird die benötigte Gewinnwahrscheinlichkeit um eine solche Situation einzugehen sinken oder steigen. Nutzenfunktionen können natürlich während eines Turniers variieren, wobei die benötigte Wahrscheinlichkeit auf der Bubble sicherlich relativ hoch ist. 
 
Zurück in die Zukunft
Genug über entscheidungs- und spieltheoretische Probleme nachgedacht. Es wird wieder Zeit Poker zu spielen, denn ich schaue gerade in meine 21 Hand. AA!!!
 
 
 
Wenn ihr euch jetzt fragt, was dieser Artikel überhaupt aussagen soll dann kann ich euch sagen, dass ich das selbst nicht so genau weiß.    Meiner Meinung nach ist es nach dieser Theorie für einen Cashgamespieler leichter  mathematisch korrekt zu spielen als für einen Turnierspieler. Es könnte auf kurze Frist gesehen profitabler sein sich am Nutzenkonzept und nicht am EV zu orientieren. Weiters würde diese Theorie sicherlich erklären, warum in vor allem großen mehrtägigen Turnieren teilweise versucht wird vermeidbaren Coinflipsituationen aus dem Weg zu gehen, da in der kurzen Frist die momentane Profitmaximierung im Vordergrund steht.
 
Abschließend möchte ich noch erwähnen: Wenn euch die Formel teilweise überproportional groß erscheinen bzw. wenn es einfach beschissen aussieht tut mir das natürlich leid, aber ich konnte leider die Formeln immer nur einzeln als Bilder einfügen und nicht gemeinsam mit dem Text. Muss mir da fürs nächste Mal was besseres überlegen. ;-)
 
Würde mich außerdem sowohl über positive als auch negative Kritik von eurer Seite sehr freuen. Außerdem würde mich freuen wenn dieser Artikel einige Diskussionen hervorruft.
 
Grüße Michael

 

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Kommentare

Veröffentlicht von icch am 01:07 PM, November 01, 2009 | Antwort hinzufügen

hi,
bin grade auf dem weg zum turnier, als ich den artikel gelesen habe!
erstmals danke für deinen Bericht, werde sicherlich einen Teul versuchen umzusetzen.

viele Grüße

icch

Veröffentlicht von Anonym am 01:34 PM, May 12, 2009 | Antwort hinzufügen

bravo!

Veröffentlicht von Topfi am 03:26 PM, May 06, 2009 | Antwort hinzufügen

Danke!! freut mich wenn jemandem der Artikel gefällt...
hmm Mathe studier ich zum Glück nicht.. wär mir so denk ich dann doch ein wenig zu hart.. Volkswirtschaftslehre ist auch schon ausreichend um ein "kleiner" mathefreak zu sein... ;-)
mfg michael

Veröffentlicht von svenson am 02:01 PM, May 06, 2009 | Antwort hinzufügen

Hallo Michael,

finde den Artikel gut und übersichtlich geschrieben! Top Arbeit mit den ganzen Informationen, studierst du Mathe? ;)
Ich sehe das auch so, dass es recht schwierig ist bei einem MTT mathematisch korrekt zu spielen. Steh öfters vor der Situation in der ich lieber auf einen Coinflip verzichte und auf eine bessere Möglichkeit warte.

Gruss Svenson

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