Von Neumann und Morgenstern 3

Hallo Overcards-Community,

hier folgt also der versprochene letzte Teil dieser Thematik. Viel Vergnügen.

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Optimale Spielstrategien

Neumann und Morgenstern versuchten diese vereinfachte Variante des Pokerspiels mathematisch zu lösen und schlossen dabei „niedriges“ Bieten mit der Absicht späteren „Aufdeckens“ aus, indem sie Bedingungen für die obere Grenze derjenigen Blätter untersuchten, für die dieses Verhalten vorteilhaft sein würde und zeigten, dass wenigstens in der Nähe ein hohes Gebot vorzuziehen wäre. Bei jedem Blatt „niedrig“ zu bieten (und anschließend zu „passen“), ist ebenso wenig eine gute Strategie wie bei jedem Blatt „hoch“ zu bieten. Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass es bei der von ihnen betrachteten Form des Pokerns eine, und nur eine optimale Strategie gibt:

Optimale Setz-Strategie im vereinfachten Pokerspiel

     (modifiziert nach Von Neumann & Morgenstern)
 
Das z steht in der Abbildung für das Blatt des Spielers, welches auf einer Skala von 0 (schwächstes Blatt) bis 1 (stärkstes Blatt) eingeteilt wurde. Hält ein Spieler ein hinreichend starkes Blatt z > (a-b)/a , so sollte er ohne Ausnahme „hoch“ bieten. Bei einem schwächeren Blatt z < (a-b)/a sollte der Spieler meistens „niedrig“ bieten (mit der Wahrscheinlichkeit a/(a+b) ) und gelegentlich und unregelmäßig „hoch“ bieten, also bluffen (mit der Wahrscheinlichkeit b/(a+b) ).
 
2.1.3 Adaptierung optimaler Spielstrategien
Neumann und Morgenstern untersuchten auch die Folgen einer Abweichung der optimalen Strategie im Bluff-Bereich z <a-b)/a . Es wird angenommen, dass Spieler 2 Wahrscheinlichkeiten benutzt, die sich von den oben genannten unterscheiden und dass Spieler 1 weiterhin die optimale Strategie verwendet. Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass fehlerhaftes „Bluffen“ keinen Verlust bedingt, wenn der Gegenspieler dann und nur dann an der optimalen Strategie festhält. Sie stellen weiters fest, dass jede Abweichung von der optimalen Strategie, die über das fehlerhafte Bluffen hinausgeht, zu einem unmittelbaren Verlust führt. Für den Gegenspieler genügt es in diesem Fall, an der optimalen Strategie festzuhalten.
 
Beim fehlerhaften Bluffen könnte der Gegner jedoch ebenfalls einen Verlust auslösen, wenn er in geeigneter Weise von der optimalen Strategie abweicht. Die Wichtigkeit des „Bluffens“ liegt daher nicht in einer Partie, die man gegen einen guten Spieler spielt, sondern in dem Schutz, den es gegen ein mögliches Abweichen des Gegners von der optimalen Strategie bietet. Tatsächlich übt die durch das „Bluffen“ erzeugte Unsicherheit gerade einen Einfluss auf die Strategie des Gegners aus.
 
Die einzig optimale Strategie dieser Variante des Pokerns ist somit nicht permanent optimal. Neumann & Morgenstern verneinen grundsätzlich die Frage nach einer permanent optimalen Strategie. Wenn beispielsweise beim Schere/Stein/Papier Spieler 1 von der optimalen Strategie aus spieltheoretischer Sicht (zufällige Auswahl der drei möglichen Optionen) abweicht, also beispielsweise dauernd „Stein“ nimmt, so verliert er nur dann, wenn Spieler 2 stets mit „Papier“ antwortet. Dann ist die Strategie von Spieler 2 aber auch nicht „optimal“ und er wird dadurch ebenfalls angreifbar. Hält er jedoch an der optimalen Strategie fest, so hat der Fehler von Spieler 1 nichts zu bedeuten. Die schlechte Strategie dauernd „Stein“ zu nehmen kann also nur durch eine Adaption der optimalen Strategie – welche paradoxerweise genau so schlecht ist – besiegt werden.
 
Eine optimale Strategie, auch wenn sie vom defensiven Standpunkt aus gesehen vollkommen ist, nützt die möglichen Fehler des Gegners somit nicht maximal aus, d.h. sie ist nicht für die Offensive berechnet. Hierzu zählen Neumann und Morgenstern auch das Bluffen.
 
Daher analysieren die Autoren in ihrem Werk auch die offensive Strategie, welche gewählt werden sollte, wenn der Gegner den Fehler macht, nicht korrekt zu „bluffen“.
 
Wenn der Gegenspieler mit einem bestimmten Blatt z0 zu viel oder zu wenig „blufft“, so muss man von der optimalen Strategie abweichen und selbst weniger/mehr bei schwächeren Blättern als z0 und mehr/weniger bei stärkeren Blättern als z0 bluffen. D.h. man muss den Fehler des Gegners bei stärkeren Blättern als z0 nachahmen und sich bei schwächeren Blättern als z0 umgekehrt verhalten.
 
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Zugegeben, das war nun etwas abstrakt und theoretisch. Doch die Lehre daraus ist klar zu formulieren und einfach anzuwenden. Man startet eine Session oder ein Turnier zunächst einmal mit klarem Valuepoker. Zeigt das Gegnerfeld in welche Richtung es von mathematisch korrektem Spiel abweicht, so reagiert man darauf mit einem neuen angepassten und hier optimaleren Stil.
 
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Stephan M. Kalhamer für
 
the-gambling-institute.eu
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